Kumpulan contoh soal & pembahasan identitas dan persamaan trigonometri
A. Soal
pilihan ganda.
1.
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
A. {30°, 150°}
B. {30o,
140o}
C. {40o,
120o}
D. {40o}
E. {150o}
2.
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
A. {60°, 300°}
B. {50o,120o}
C. {60o, 100o}
D.{30o,100 o}
E. { 40o,60 o}
3.
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3
A. {50o,120o}
B. {90°, 150°, 450°, 510°}
C. {40o,
150o}
D. {30o, 100o}
E. {60o, 100o}
4.
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos (x − 30°) = 1/2 √2
A. {75o, 300o}
B. {75°, 345°}
C. {50o, 250o}
D. {65o,345o}
E. {60o,250o}
5.
Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x + sin x = 0 untuk 0 < x ≤ 2π
adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
6.
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π
adalah…
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}
7.
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x <
2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}
8.
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180°
adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)
9.
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x
≤ 360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
10.
Untuk 0 ≤ x ≤ 360 tentukan himpunan penyelesaian dari sin 3x = ½
A. {15o,
50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
B. {10o, 50o, 160o, 170o,
250o, 290o}
C. {10o, 50o, 130o, 170o,
250o, 290o}
D. {10o, 60o, 130o, 170o,
250o, 290o}
E. {10o, 50o, 130o, 170o,
250o, 340o}
11.
Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari cos 5x = 1/2 √2
A. {10o,
63o, 81o, 135o, 153o}
B. {9o, 63o, 91o, 135o,
}
C. {9o, 63o, 81o, 135o,
153o}
D. {9o, 73o,
81o, 153o}
E. {9o, 83o, 135o, 153o}
12.
Himpunan penyelesaian dari persamaan tan 4x = √3 0 ≤ x ≤ 360 adalah ….
A. {15o, 60o,145o,150o,195o,240o,285o,330o}
B. {15o, 60o,105o,150o,185o,240o,285o,330o}
C. {25o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}
D. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}
E. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,340o}
13.
Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x dengan 0o ≤ x ≤ 360o
adalah …
A. {30o, 90o, 162o, 234o,
306o}
B. {18o, 120o, 162o, 234o,
306o}
C. {18o, 90o, 162o, 244o,
306o}
D. {28o, 90o, 192o, 234o,
306o}
E. {18o, 90o, 162o, 234o,
306o}
14.
Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x dengan 0o ≤ x ≤ 360o .
Himpunan penyelesaiannya adalah …
A. {15o, 30o, 90o, 105o,
120o, 195o, 210o, 270o, 285o,
300o}
B. {15o, 30o, 90o, 115o,
120o, 195o, 210o, 270o, 285o,
320o}
C. {25o,
30o, 90o, 105o, 120o, 195o,
240o, 270o,
285o, 300o}
D. {15o, 30o, 80o, 105o,
150o, 195o,
210o, 270o, 285o, 300o}
E. {15o, 30o, 90o, 105o,
120o, 195o, 210o, 270o, 285o,
340o}
15.
Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos(2x − 60) = √3
untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 90°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 90°
16. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. {45°, 120°}
B. {45°, 135°}
C. {60°, 135°}
D. {60°, 120°}
E. {60°, 180°}
17.
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x − 3 cos x + 2 = 0
pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….
A. {0°, 60°, 120°}
B. {60°, 120°, 180°}
C. {60°, 180°, 360°}
D. {0°, 60°, 120°, 180°}
E. {0°, 60°, 300°, 360°}
18.
Nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x − sin x
= 0 untuk 0° < x < 360° adalah ....
A. {30°, 150°}
B. {30°, 270°}
C. {30°, 150°, 180°}
D. {60°, 120°, 300°}
E. {30°, 150°, 270°}
19.
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk
0° ≤ x ≤ 180° adalah
A. {120°, 105°}
B. {105°, 165°}
C. {30°, 105°}
D. {30°, 165°}
E. {15°, 105°}
B. {105°, 165°}
C. {30°, 105°}
D. {30°, 165°}
E. {15°, 105°}
20.
Diketahui persamaan trigonometri √2 sin x + 1 = 0. Himpunan penyelesaian untuk
0 ≤ x ≤ 2π
A. {3π/4, 3π/4}
B. {3π/4, 5π/4}
C. {5π/4, 7π/4}
D. {7π/4, 9π/4}
E. {9π/4, 11π/4}
21.Nilai dari cos²15° + cos²35°
+ cos²55° + cos²75° adalah...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
22. Jika sin(x-600)° =
cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah...
A.
1/3 √3
B.
1/2 √3
C.
√3
D.
2/3 √3
E.
1/2
23. Diketahui sinx + cosx =
-1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...
A. 24/25
B. -25/24
C. -24/25
D. 25/24
E. 24/24
24. Nilai tanx dari persamaan
cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. 0
25.Bentuk
sederhana dari bentuk trigonometri (1 +
cot2 β) / (cot β . sec2 β) adalah...
A. sin β
B. cot β
C. sec2 β
D. sec β
E. cot2 β
26. nilai dari
(sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α adalah....
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. 0
27.
Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri 1
- cos2 β adalah...
A. sin2 β.
B. cot2 β
C. sec β
D. sin β
E. sec2 β
28.
Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri sin2 α
- cos2 α adalah...
A.
sin2 β
B.
cot2 β
C.
-cos 2α.
D.
sec β
E.
sec2 β
29. Bentuk sederhana dari bentuk
trigonometri tan2 α
- 1adalah...
A.
sec2 α
B.
1-sin 2α
C.
1-sec2
2α
D.
1-cot2
2α
E.
sec2 α-2
30. Bentuk sederhana dari bentuk
trigonometri sin2 α - 2 sin α cos α +
cos2 α adalah...
A.
1-sin 2α
B.
1-sin 4α
C.
1-sin2 2α
D.
Sin2 α
E.
cos α
F.
B. Uraian
1. Diberikan
persamaan trigonometri 2 cos (3x + 30)^o = √3. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤
x ≤ 2π adalah...
2. Diketahui
persamaan trigonometri tan (2x - 40) - cot 50 = 0. Himpunan penyelesaian untuk
0 ≤ x ≤ 360 adalah...
3. Diketahui
persamaan trigonometri sin (2x + 120) - sin (2x + 240) = - 3/2. Himpunan
penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah..
4. Diketahui
sistem persamaan sin x + sin y = 1 dan x
+ y = 60 Himpunan penyelesaian umum untuk
x dan y ϵ R adalah...
5. Himpunan
penyelesaian dari persamaan cos 2x
− 3 cos
x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah
6. Buktikan identitas trigonometri 1/3
sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3 adalah
7. Buktikan identitas trigonometri 3
cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α adalah
8. Buktikan identitas trigonometri 3 +
5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α adalah
9. Dengan
menggunakan rumus sin2
α + cos2 α =
1, buktikan bahwa 1 + tan2
α = sec2 α.
10. Dari
rumus sin2 α + cos2 α = 1, tunjukkan bahwa 1 + cot2 α =
cosec2 α
Pembahasan
1. A 11. C 21. B
2. A 12.
D 22. A
3. B 13. E 23. C
4. B 14. A 24. E
5. D 15. C 25. B
6. E 16. E 26. D
7. D 17. E 27. A
8. C 18. E 28. C
9. A 19. A 29. E
10. C 20.C 30.
A
Pembahasan:
Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
Pembahasan
Dari:
sin x = 1/2
Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.
Sehingga
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
Dengan pola rumus yang pertama di atas:
(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °
(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
x = 120 + k⋅360
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
Pembahasan
Dari:
sin x = 1/2
Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.
Sehingga
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
Dengan pola rumus yang pertama di atas:
(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °
(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
x = 150 +
k⋅360
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °
Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °
Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}
Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
Pembahasan
1/2 adalah nilai cosinus dari 60°.
Sehingga
cos x = cos 60°
(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°
(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°
Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}
Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3
Pembahasan
1/2 √3 miliknya sin 60°
Sehingga
sin (x − 30) = sin 60°
dan
Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}
Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = 1/2 √2
Pembahasan
Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°
HP = {75°, 345°}
Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:
|
cos 2x
= cos2 x − sin2x
cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x |
cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin2 x + sin x = 0
− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0
2 sin2 x − sin x − 1 = 0
Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −1/2
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°
Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.
Jawaban : D.
Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
A. {2π/3,4π/3}
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x
Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}
Pembahasan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
Faktorkan:
(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0
(2cos x − 1) = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3
atau
(cos x − 1) = 0 cos x = 1
x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)
Jadi HP = {π/3, 5π/3}
Jawaban: D
Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)
Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x +
3 sin 2x = −1
Untuk faktor
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Diperoleh
Jadi HP = {105°,165°}
Untuk faktor
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Diperoleh
Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal.
Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?
= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1
= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.)
Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 (1)2 − 3 (1) + 1
= 2 − 3 + 1
= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°)
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal.
Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?
= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1
= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.)
Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 (1)2 − 3 (1) + 1
= 2 − 3 + 1
= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°)
Soal No. 10
Untuk 0o ≤ x ≤ 360o tentukan himpunan
penyelesaian dari
sin 3x = 1/2
sin 3x = 1/2
Jawab :
sin 3x = 1/2
sin 3x = sin 30o
sin 3x = 1/2
sin 3x = sin 30o
3x = 30o + n.360o
x = 10o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 10o
untuk n = 1 maka x =130o
untuk n = 2 maka x =250o
x = 10o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 10o
untuk n = 1 maka x =130o
untuk n = 2 maka x =250o
3x = 180o – 30o + n.360o
x = 50o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 50o
untuk n = 1 maka x = 170o
untuk n = 2 maka x = 290o
x = 50o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 50o
untuk n = 1 maka x = 170o
untuk n = 2 maka x = 290o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
{10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
Soal No. 11
Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan
himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = 1/2 √2
Jawab :
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = cos 45o
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = cos 45o
5x = 45o + n.360o
x = 9o + n.72o
untuk n = 0 maka x =9o
untuk n = 1 maka x =81o
untuk n = 2 maka x =153o
x = 9o + n.72o
untuk n = 0 maka x =9o
untuk n = 1 maka x =81o
untuk n = 2 maka x =153o
5x = -45o + n.360o
x = -9o + n.72o
untuk n = 1 maka x = 63o
untuk n = 2 maka x = 135o
x = -9o + n.72o
untuk n = 1 maka x = 63o
untuk n = 2 maka x = 135o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9o, 63o, 81o, 135o, 153o}
{9o, 63o, 81o, 135o, 153o}
Soal No. 12
Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3 0o ≤ x ≤ 360o
adalah ….
tan 4x = √3 0o ≤ x ≤ 360o
adalah ….
Jawab :
tan 4x = √3
tan 4x = tan 60o
4x = 60o + n.180o
x = 15o + n.45o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 60o
untuk n = 2 maka x = 105o
untuk n = 3 maka x = 150o
untuk n = 4 maka x = 195o
untuk n = 5 maka x = 240o
untuk n = 6 maka x = 285o
untuk n = 7 maka x = 330o
tan 4x = tan 60o
4x = 60o + n.180o
x = 15o + n.45o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 60o
untuk n = 2 maka x = 105o
untuk n = 3 maka x = 150o
untuk n = 4 maka x = 195o
untuk n = 5 maka x = 240o
untuk n = 6 maka x = 285o
untuk n = 7 maka x = 330o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 60o, 105o, 150o, 195o, 240o, 285o, 330o}
{15o, 60o, 105o, 150o, 195o, 240o, 285o, 330o}
Soal No. 13
Himpunan penyelesaian dari persamaan
sin 3x = cos 2x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …
sin 3x = cos 2x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …
Jawab :
sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin (90o – 2x)
sin 3x = sin (90o – 2x)
3x = 90o – 2x + n.360o
5x = 90o + n.360o
x = 18o + n.72o
untuk n = 0 maka x = 18o
untuk n = 1 maka x = 90o
untuk n = 2 maka x = 162o
untuk n = 3 maka x = 234o
untuk n = 4 maka x = 306o
5x = 90o + n.360o
x = 18o + n.72o
untuk n = 0 maka x = 18o
untuk n = 1 maka x = 90o
untuk n = 2 maka x = 162o
untuk n = 3 maka x = 234o
untuk n = 4 maka x = 306o
3x = 180o – (90o – 2x) + n.360o
3x = 90o + 2x + n.360o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o
3x = 90o + 2x + n.360o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18o, 90o, 162o, 234o, 306o}
{18o, 90o, 162o, 234o, 306o}
Soal No. 14
Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …
dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …
Jawab :
sin 5x + sin 3x = √3 cos x
2 sin 1/2 (5x + 3x) cos 1/2 (5x – 3x) = √3 cos x
2 sin 4x cos x = √3 cos x
2 sin 4x cos x – √3 cos x = 0
cos x ( 2 sin 4x – √3) = 0
cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3
2 sin 1/2 (5x + 3x) cos 1/2 (5x – 3x) = √3 cos x
2 sin 4x cos x = √3 cos x
2 sin 4x cos x – √3 cos x = 0
cos x ( 2 sin 4x – √3) = 0
cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3
cos x = 0
cos x = cos 90o
cos x = cos 90o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o
untuk n = 0 maka x = 90o
x = -90o + n.360o
untuk n = 1 maka x = 270o
untuk n = 1 maka x = 270o
sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60o
sin 4x = sin 60o
4x = 60o + n.360o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o
4x = 180o – 60o + n.360o
4x = 120o + n.360o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o
4x = 120o + n.360o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}
Soal
No. 15
Langkah
pertama, kita pindah konstanta 2 ke ruas kanan.
2 cos(2x − 60) = √3
cos(2x − 60) = ½√3
Pada interval 0° ≤ x ≤ 180° atau kuadran I dan II, kita cukup memanfaatkan sudut-susut istimewa.
cos(2x − 60°) = cos 30°
2x − 60° = 30°
2x = 90°
x = 45°
Jadi, nilai x dari persamaan trigonometri tersebut adalah 45°
2 cos(2x − 60) = √3
cos(2x − 60) = ½√3
Pada interval 0° ≤ x ≤ 180° atau kuadran I dan II, kita cukup memanfaatkan sudut-susut istimewa.
cos(2x − 60°) = cos 30°
2x − 60° = 30°
2x = 90°
x = 45°
Jadi, nilai x dari persamaan trigonometri tersebut adalah 45°
Soal No. 16
cos 2x + cos
x = 0
2 cos^2x -1 +
cos x = 0
2 cos^2x + cos x - 1 = 0
Difaktorkan ...
(2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0
2 cos x = 1 atau cos x = -1
cos x = 1/2 atau cos x = -1
cos x = 1/2 ..
x = (60o)
cos x = -1
x = (180o)
Himpunan penyelesaian dari x :
2 cos^2x + cos x - 1 = 0
Difaktorkan ...
(2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0
2 cos x = 1 atau cos x = -1
cos x = 1/2 atau cos x = -1
cos x = 1/2 ..
x = (60o)
cos x = -1
x = (180o)
Himpunan penyelesaian dari x :
HP = {60o, 180o}
Soal No. 17
Soal ini
mirip dengan soal sebelumnya. Yang perlu diperhatikan adalah interval 0° ≤ x
≤ 360°. Interval ini meliputi semua kuadran.
cos 2x − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 1 − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 3 cos x + 1 = 0
(2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0
cos x = ½ atau cos x = 1
Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.
cos x = ½
cos x = cos 60°
K. I : x = 60°
K. IV : x = 360° − 60°
= 300°
cos x = 1
cos x = cos 0°
K.I : x = 0°
K.IV : x = 360° − 0°
= 360°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°} (E).
cos 2x − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 1 − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 3 cos x + 1 = 0
(2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0
cos x = ½ atau cos x = 1
Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.
cos x = ½
cos x = cos 60°
K. I : x = 60°
K. IV : x = 360° − 60°
= 300°
cos x = 1
cos x = cos 0°
K.I : x = 0°
K.IV : x = 360° − 0°
= 360°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°} (E).
Soal No. 18
Soal ini agak
sedikit berbeda dengan soal sebelumnya. Suku keduanya berbentuk sinus. Sehingga
cos 2x harus
diubah seperti rumus II.
cos 2x − sin x = 0
1 − 2 sin2x − sin x = 0
−2 sin2x sin x + 1 = 0
2 sin2x + sin x − 1 = 0
(2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0
sin x = ½ atau sin x = −1
Nilai sinus positif terjadi di kuadran I dan II.
sin x = ½
sin x = sin 30°
K. I : x = 30°
K. II : x = 180° − 30°
= 150°
Sedangkan nilai sinus negatif di kuadran III dan IV.
sin x = −1
sin x = −sin 90°
K.III : x = 180° + 90°
= 270°
K.IV : x = 360° − 90°
= 270°
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} (E).
cos 2x − sin x = 0
1 − 2 sin2x − sin x = 0
−2 sin2x sin x + 1 = 0
2 sin2x + sin x − 1 = 0
(2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0
sin x = ½ atau sin x = −1
Nilai sinus positif terjadi di kuadran I dan II.
sin x = ½
sin x = sin 30°
K. I : x = 30°
K. II : x = 180° − 30°
= 150°
Sedangkan nilai sinus negatif di kuadran III dan IV.
sin x = −1
sin x = −sin 90°
K.III : x = 180° + 90°
= 270°
K.IV : x = 360° − 90°
= 270°
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} (E).
Soal No. 19
Untuk
menyelesaikan soal di atas, perhatikan analogi rumus berikut ini!
cos 2x = 1 − 2 sin2 1x
cos 4x = 1 − 2 sin2 2x
Berdasarkan analogi rumus tersebut diperoleh:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
1 − 2 sin2 2x + 3 sin 2x = −1
−2 sin2 2x + 3 sin 2x + 2 = 0
2 sin2 2x − 3 sin 2x − 2 = 0
(2 sin 2x + 1)(sin 2x − 2) = 0
sin 2x = −½ atau sin x = 2 (TM)
TM artinya tidak memenuhi karena nilai maksimum dari sinus adalah 1.
Meskipun interval pada soal di atas adalah 0° ≤ x ≤180°, namun kita harus jeli. Sudut pada persamaan trigonometri di atas adalah 2x. Sehingga intervalnya sama dengan 0° ≤ 2x ≤360°.
Nilai sinus negatif terjadi di kuadran III dan IV.
sin 2x = −½
sin 2x = −sin 30°
K.III : 2x = 180° + 30°
= 210°
x = 105°
K.IV : 2x = 360° − 30°
= 330°
x = 165°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {105, 165°}
cos 2x = 1 − 2 sin2 1x
cos 4x = 1 − 2 sin2 2x
Berdasarkan analogi rumus tersebut diperoleh:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
1 − 2 sin2 2x + 3 sin 2x = −1
−2 sin2 2x + 3 sin 2x + 2 = 0
2 sin2 2x − 3 sin 2x − 2 = 0
(2 sin 2x + 1)(sin 2x − 2) = 0
sin 2x = −½ atau sin x = 2 (TM)
TM artinya tidak memenuhi karena nilai maksimum dari sinus adalah 1.
Meskipun interval pada soal di atas adalah 0° ≤ x ≤180°, namun kita harus jeli. Sudut pada persamaan trigonometri di atas adalah 2x. Sehingga intervalnya sama dengan 0° ≤ 2x ≤360°.
Nilai sinus negatif terjadi di kuadran III dan IV.
sin 2x = −½
sin 2x = −sin 30°
K.III : 2x = 180° + 30°
= 210°
x = 105°
K.IV : 2x = 360° − 30°
= 330°
x = 165°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {105, 165°}
Soal No. 20
√2 sin x + 1 = 0
√2 sin x = - 1
sin x = - 1/√2 = - 1/2 √2
sin 5π/4
x = 5π/4 + k . 2π atau x = (π - 5π/4) + k . 2π
x = 5π/4 + k . 2π atau x = - π/4 + k . 2π
k = 0 maka x = 5π/4 + 0 . 2π = 5π/4 dan x = - π/4 + 0 . 2π = - π/4
k = 1 maka x =13π/4 dan x = 7π/4
Jadi himpunan penyelesaiannya {5π/4, 7π/4}
(-π/4 dan 13π/4 tidak masuk himpunan penyelesaian karena
diluar 0 ≤ x ≤ 2π)
Soal No. 21
Nilai
dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah...
Jadi,
cos²15°
+ cos²35° + cos²55° + cos²75°
=
cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°
=
cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°
=
sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°
=
1 + 1 = 2 -------> (identitas
trigonometri sin²α + cos²α = 1)
Soal No. 22
Jika
sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah...
Jadi,
sin(x-600)°
= cos(x-450)°
sin(x-600)°
= sin(90 - (x-450))°
sin(x-600)°
= sin(540 - x)°
x
- 600° = 540° - x
2x
= 540° + 600°
x
= 1140°/2 = 570°
tan
x = tan 570°
=
tan (360 + 210)° = tan 210°
=
tan (180 + 30)° -----> Kuadran III
=
tan 30° = 1/3 √3
Soal No. 23
Diketahui
sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...
Jadi,
sinx
+ cosx = -1/5
(sinx
+ cosx)² = (-1/5)² -----> (Kuadratkan kedua ruas.)
sin²x
+ 2sinxcosx + cos²x = 1/25
sin²x
+ cos²x + 2sinxcosx = 1/25
1
+ 2sinxcosx = 1/25 -----> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)
2sinxcosx
= 1/25 - 1
2sinxcosx
= 1/25 - 25/25
2sinxcosx
= -24/25
sin2x
= -24/25
(aturan
sudut rangkap sin 2x = 2 sin x cos x).
Soal No. 24
Nilai
tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...
Jadi,
cos2x
- 3sinx - 1 = 0
cos2x
- 3sinx = 1
(1
- 2sin²x) - 3sinx = 1
(mengubah
cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena
bervariabel sama yakni sinx).
(1
- 2sin²x) - 3sinx = 1
-2sin²x
- 3sinx = 1 - 1
-2sin²x
- 3sinx = 0
sinx(-2sinx
- 3) = 0
sinx
= 0 atau -2sinx - 3 = 0
sin
x = 0 atau sinx = -3/2
x
= 0°
(sinx
= -3/2 tidak memenuhi)
maka
nilai tan x = tan 0° = 0
Soal No. 25
Dari pecahan (1 +
cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan
pembilangnya.
1 + cot2 β = cosec2
β
⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β
cot β . sec2 β =
(cos β/ sinβ) . sec2 β
⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β)
⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β
Setelah digabung
kembali diperoleh :
(1 + cot2 β) / (cot
β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β)
⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β)
⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β
⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β
⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β
Jadi, (1 + cot2 β)
/ (cot β . sec2 β) = cot β.
Soal No. 26
Karena keterbatasan
ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak
terlalu panjang.
(sin α - cos α)2 =
sin2 α - 2 sin α. cos α + cos2 α
⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α + cos2 α - 2 sin α. cos α
⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α
Selanjutnya :
(sin α - cos α)2 +
2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1
Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1.
Soal No. 27
1 - cos2 β
Dari identitas sin2 β +
cos2 β = 1, maka diperoleh :
⇒ 1 - cos2 β = sin2 β
Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β.
⇒ 1 - cos2 β = sin2 β
Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β.
Soal No. 28
a. sin2 α
- cos2 α
Dari identitas sin2 α +
cos2 α = 1, maka sin2 α = 1 - cos2 α.
⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α
⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - 2 cos2 α
Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α.
⇒ sin2 α - cos2 α = -cos 2α
Jadi, sin2 α - cos2 α = -cos 2α.
⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α
⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - 2 cos2 α
Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α.
⇒ sin2 α - cos2 α = -cos 2α
Jadi, sin2 α - cos2 α = -cos 2α.
Soal No. 29
Dari identitas 1 +
tan2 α = sec2 α, maka tan2 α =
sec2 α - 1
⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 – 1
⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 – 1
⇒ tan2 α – 1 =
sec2 α - 2
Soal No. 30
Sin2 α – 2 sin α cos α + sin2 α = sin2 α +
cos2 α – 2 sin α cos α
⇒ sin2 α- 2 sin α cos α + cos2 α = 1
-2 sin α cos α
⇒ sin2 α – 2 sin α cos α + cos2 α =
1 – sin 2 α
Jadi, sin2 α -2 sin α cos α + cos2 α = 1 –sin 2 α
Jadi, sin2 α -2 sin α cos α + cos2 α = 1 –sin 2 α
II. Uraian
1. 2 cos (3x + 30) = √3
cos (3x + 30) = 1/2 √3cos (3x + 30) = cos 30
3x + 30 = ±30 + k . 360 : 3
x + 10 = ± 10 + k . 120
x = k . 120 atau x = - 20 + k . 120
k = 0 maka x = 0 dan x = - 20
k = 1 maka x = 120 dan x = 100
k = 2 maka x = 240 dan x = 220
k = 3 maka x = 360 dan x = 340
Jadi himpunan penyelesaiannya {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}
2. tan (2x - 40) - cot 50 = 0
tan (2x - 40) = cot 50
tan (2x - 40) = cot (90 - 40)
tan (2x - 40) = tan 40
2x - 40 = 40 + k . 180
2x = 80 + k . 180
x=40+k.90
k = 0 maka x = 40
k = 1 maka x = 130
k = 2 maka x = 220
k = 3 maka x = 310
k = 4 maka x = 400
Jadi himpunan penyelesaiannya {40, 130, 220, 310}
3. Sin (A + B) - sin (A - B) = 2 cos A . cos B
sin (2x + 120) - sin (2x + 240) = 2 cos 1/2 (2x + 120 + 2x + 240)
sin 1/2 92x + 120 - 2x - 240)
2 cos (2x + 180) sin (-60) = - 3/2
2 cos (2x + 180) . - 1/2 √3 = - 3/2
cos (2x + 180) = 3/2√3 = 1/2 √3
cos (2x + 180) = cos 30
2x + 180 = ±30 + k . 360
x + 90 = ± 15 + k . 180
x = - 75 + k . 180 atau x = -105 + k . 180
k = 0 maka x = - 75 dan x = - 105
k = 1 maka x = 105 dan x = 75
k = 2 maka x = 285 dan x = 255
Jadi himpunan penyelesaiannya {75, 105, 255, 285}
4. Sin A + sin B = 2 sin 1/2 (A + B) cos 1/2 (A - B)
sin x + sin y = 2 sin 1/2 (x + y) cos 1/2 (x - y) = 1
2 sin 1/2 . 60 cos 1/2 (x - y) = 1
2 sin 30 cos 1/2 (x - y) = 1
2 . 1/2 cos 1/2 (x - y) = 1
cos 1/2 (x - y) = cos 0
1/2 (x - y) = k . 360
x - y = k . 720
x + y = 60
_____________+
2x = 60 + k . 720
x = 30 + k . 360
y = 30 - k . 360
Jadi himpunan penyelesaiannya {30 + k . 360, 30 - k . 360}
5. cos 2x − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 1 − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 3 cos x + 1 = 0
(2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0
cos x = ½ atau cos x = 1
Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.
cos x = ½
cos x = cos 60°
K. I : x = 60°
K. IV : x = 360° − 60°
= 300°
cos x = 1
cos x = cos 0°
K.I : x = 0°
K.IV : x = 360° − 0°
= 360°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°}
2 cos2x − 1 − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 3 cos x + 1 = 0
(2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0
cos x = ½ atau cos x = 1
Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.
cos x = ½
cos x = cos 60°
K. I : x = 60°
K. IV : x = 360° − 60°
= 300°
cos x = 1
cos x = cos 0°
K.I : x = 0°
K.IV : x = 360° − 0°
= 360°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°}
6. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
⇒ 1/3 (sin2 α +
cos2 α) = 1/3
⇒ 1/3 (1) = 1/3
⇒ 1/3 = 1/3
Terbukti.
⇒ 1/3 (1) = 1/3
⇒ 1/3 = 1/3
Terbukti.
7. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α
+ 3 cos2 α = 3.
Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α.
Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α.
⇒ 3 cos2 α - 2 = 1
- 3 sin2 α
⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α.
Terbukti.
⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α.
Terbukti.
8. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α
= 5 - 5 cos2 α.
⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α
⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α.
Terbukti.
⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α
⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α.
Terbukti.
9. Dari rumus tan α = sin α / cos α, diperoleh sin α = tan α . cos α.
sin2 α + cos2 α = 1
⇒ (tan α . cos α)2 +
cos2 α = 1
⇒ tan2 α . cos2 α
+ cos2 α = 1
⇒ (tan2 α + 1) cos2
α = 1
⇒ tan2 α + 1 = 1/ cos2
α
Ingat bahwa 1/cos α = sec α, sehingga :
⇒ tan2 α + 1 = sec2
α ⇒ 1 + tan2 α = sec2
α
Terbukti.
10. Dari rumus cot α = cos α / sin α, diperoleh cos α = cot α . sin α.
sin2 α + cos2 α = 1
⇒ sin2 α + (cot α . sin α)2
= 1
⇒ 1 + cot2 α = 1/sin2
α
Ingat bahwa 1/sin α = cosec α, sehingga :
⇒ 1 + cot2 α = cosec2
α Terbukti.
Sekian dan trimakasih, bila ada kesalahan mohon maaf
Kakak nmr 5 bisa dpt hp ny segitu gmn caranya yah ? Tolong jabarin dong
BalasHapusMakasih
Kakak nmr 5 bisa dpt hp ny segitu gmn caranya yah ? Tolong jabarin dong
BalasHapusMakasih
Kontol
BalasHapusGood. Thanks
BalasHapusCaranya gimana bang
BalasHapus